Параметрическое уравнение прямой трех точек. Параметрические уравнения прямой

1. Параметрическое уравнение прямой

Пусть даны точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) на прямой и вектор s = (l ,m ,n ) , лежащий на

этой прямой (или ей параллельной). Вектор s называют еще направляющим вектором прямой .

Этими условиями однозначно определяется прямая в пространстве. Найдем ее

уравнение. Возьмем произвольную точку M (x , y , z ) на прямой. Ясно, что векторы

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) и s коллинеарны.

Следовательно, M 0 M = t s − есть векторное уравнение прямой.

В координатной записи последнее уравнение имеет следующее параметрическое представление

двух углов, образованными двумя прямыми, соответственно параллельными данной и проходящими через одну точку (для чего возможно требуется совершить параллельный перенос одной из прямых).

Из определения следует, что один из углов равен углу ϕ между

Прямые перпендикулярны s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 .

4. Угол между прямой и плоскостью. Условия « » и « » прямой и

плоскости

Пусть прямая L задана своим каноническим уравнением x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

а плоскость P – уравнением

Ax + By + Cz + D = 0.

Определение. Углом между прямой L

и плоскостью р называется острый угол между прямой L и ее проекцией на плоскость.

Из определения (и рисунка) следует, что искомый угол ϕ является дополнительным (до прямого угла) к углу между вектором нормали n (A , B ,C ) и

направляющим вектором s (l ,m ,n ) .

(. берется, чтобы получить острый угол).

Если L Р , то тогда s n (s ,n ) = 0

Теперь, если подставить найденное «t » в параметрические уравнения прямой, то найдем искомую точку пересечения

Одной из основных операций математического анализа является операция предельного перехода, которая встречается в курсе в различных формах. Мы начнем с самой простейшей формы операции предельного перехода, основанной на понятии предела так называемой числовой последовательности. Это облегчит нам введение и другой весьма важной формы операции предельного перехода – предела функции. В последующем конструкции предельных переходов будут использоваться в построении дифференциального и интегрального исчисления.



 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

 Связь бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

 Простейшие свойства бесконечно малых последовательностей

 Предел последовательности.

 Свойства сходящихся последовательностей

 Арифметические операции над сходящимися последовательностями

 Монотонные последовательности

 Критерий сходимости Коши

 Число е и его экономическая иллюстрация.

 Применение пределов в экономических расчетах

§ 1. Числовые последовательности и простейшие свойства

1. Понятие числовой последовательности. Арифметические операции над последовательностями

Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел. Примеры последовательностей известны из школы:

1) последовательность всех членов бесконечной арифметической и геометрической прогрессий;

2) последовательность периметров правильных n -угольников, вписанных в данную окружность;

будем называть числовой последовательностью (или просто последовательностью).

Отдельные числа x 3 , x 5 , x n будем называть элементами или членами последовательности (1). Символ x n называют общим или n -м членом данной последовательности. Придавая значение n = 1, 2, … в общем члене x n мы получаем, соответственно, первый x 1 , второй x 2 и т.д. члены.

Последовательность считается заданной (см. Опр.), если указан способ получения любого ее элемента. Часто последовательность задают формулой для общего члена последовательности.

Для сокращения записи последовательность (1) иногда записывают как

Структура общего члена (его формула) может быть сложной. Например,

Иногда последовательность задается так называемыми рекуррентными формулами , т.е. формулами, позволяющими находить последующие члены последовательности по известным предыдущим.

Пример (числа Фибоначчи). Пусть x 1 = x 2 = 1 и задана рекуррентная формула x n = x n − 1 + x n − 2 для n = 3, 4, … . Тогда имеем последовательность 1, 1,

2, 3, 5, 8, … (числа Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи). Геометрически числовую последовательность можно изобразить на чис-

ловой оси в виде последовательности точек, координаты которых равны соот-

ветствующим членам последовательности. Например, { x n } = 1 n .

Лекция № 8-9 Основы математического анализа проф. Дымков М.П. 66

Рассмотрим наряду с последовательностью { x n } еще одну последовательность { y n } : y 1 , y 2 , y ,n (2).

Определение. Суммой (разностью, произведением, частным) последо-

вательностей { xn } и { yn } называется последовательность { zn } , члены кото-

Произведением последовательности { xn } на число c R называется последовательность { c xn } .

Определение. Последовательность { xn } называется ограниченной

сверху (снизу), если существует вещественное число М (m), такое что каждый элемент этой последовательности xn удовлетворяет неравен-

ству xn ≤ M (xn ≥ m) . Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу m ≤ xn ≤ M . Последовательность xn называ-

ется неограниченной, если для положительного числа А (сколь угодно большего) найдется хотя бы один элемент последовательности xn , удовлетворя-

ющий неравенству xn > A.

{ x n } = { 1n } − ограничена, т.к. 0 ≤ x n ≤ 1.

{ x n } = { n } − ограничена снизу 1, но является неограниченной.

{ x n } = { − n } − ограничена сверху (–1), но также неограниченная.

Определение. Последовательность { x n } называется бесконечно малой ,

если для любого положительного вещественного числа ε (сколь бы малым его не взяли) существует номер N , зависящий, вообще говоря от ε , (N = N (ε )) такой, что при всех n ≥ N выполняется неравенство x n < ε .

Пример. { x n } = 1 n .

Определение. Последовательность { xn } называется бесконечно боль-

шой , если для положительного вещественного числа А (какое бы большое оно не было) найдется номер N (N = N(A)) такой, что при всех n ≥ N выпол-

няется неравенство xn > A.

Приравнивая в канонических уравнениях прямой каждую из дробей некоторому параметру t :

Получим уравнения выражающие текущие координаты каждой точки прямой через параметр t .

таким образом параметрические уравнения прямой имеют вид:

Уравнения прямой проходящей через две заданные точки.

Пусть заданы две точки М 1 (x 1 ,y 1 ,z 1) и М 2 (x 2 ,y 2 ,z 2) . Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки получаются так же, как аналогичное такое уравнение на плоскости. Поэтому сразу приведём вид этого уравнения.

Прямая на пересечении двух плоскостей. Общее уравнение прямой в пространстве.

Если рассмотреть две не параллельные плоскости, то их пересечением будет прямая.

Если нормальные вектора и неколенеарны.

Ниже при рассмотрении примеров мы покажем способ преобразования таких уравнений прямой к каноническим уравнениям.

5.4 Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Углом между двумя прямыми в пространстве будем называть любой из углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть две прямые заданны своими каноническими уравнениями.

За угол между двумя прямыми примем угол между направляющими векторами.

и

Условие перпендикулярности двух прямых сводится к условию перпендикулярности их направляющих векторов и , то есть к равенству нулю скалярного произведения: или в координатной форме: .

Условие параллельности двух прямых сводится к условию параллельности их направляющих векторов и

5.5 Взаимное расположение прямой и плоскости.

Пусть заданы уравнения прямой:

и плоскости . Углом между прямой и плоскостью будем называть любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость (Рис 5.5).

Рис 5.5

В случае перпендикулярности прямой к плоскости направляющий вектор прямой и нормальный вектор к плоскости коллинеарны. Таким образом, условие перпендикулярности прямой и плоскости сводится к условию коллинеарности векторов

В случае параллельности прямой и плоскости их указанные выше вектора взаимно перпендикулярны. Поэтому условие параллельности прямой и плоскости сводится к условию перпендикулярности векторов ; т.е. их скалярное произведение равно нулю или в координатной форме: .

Ниже рассмотрены примеры решения задач, связанных с темой главы 5.

Пример 1:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (1,2,4) перпендикулярную прямой, заданной уравнением:

Решение:

Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.

А(х-х 0)+В(у-у 0)+С(z-z 0)=0

В качестве точки возьмём точку А (1,2,4), через которую проходит по условию плоскость.

Зная канонические уравнения прямой, мы знаем вектор, параллельный прямой .

В силу того, что по условию прямая перпендикулярна искомой плоскости, направляющий вектор может быть взят в качестве нормального вектора плоскости.

Таким образом уравнение плоскости получим в виде:

2(х-1)+1(у-2)+4(z-4)=0

2х+у+4z-16=0

2х+у+4z-20=0

Пример 2:

Найти на плоскости 4х-7у+5z-20=0 такую точку Р, для которой ОР составляет с осями координат одинаковые углы.

Решение:

Сделаем схематический чертёж. (Рис. 5.6)

у

Рис 5.6

Пуст точка Р имеет координаты . Так как вектор составляет одинаковые углы с осями координат, то направляющие косинусы этого вектора равны между собой

Найдём проекции вектора :

тогда легко находятся направляющие косинусы этого вектора.

Из равенства направляющих косинусов следует равенство:

х р =у р =z р

так как точка Р лежит на плоскости, то подстановка координат этой точки в уравнение плоскости обращает его в тождество.

4х р -7х р +5х р -20=0

2х р =20

х р =10

Соответственно: у р =10; z р =10.

Таким образом искомая точка Р имеет координаты Р(10;10;10)

Пример 3:

Даны две точки А (2,-1,-2) и В (8,-7,5). Найти уравнение плоскости, проходящей через точку В, перпендикулярную отрезку АВ.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную заданному вектору.

А(х-х 0)+В(у-у 0)+C(z-z 0)=0

В качестве точки используем точку В (8,-7,5), а в качестве вектора, перпендикулярного плоскости вектор . Найдём проекции вектора :

тогда уравнение плоскости получим в виде:

6(х-8)-6(у+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7z-35=0

6х-6у+7z-35=0

6х-6у+7z-125=0

Пример 4:

Найти уравнение плоскости, параллельной оси ОY и проходящей через точки К(1,-5,1) и М(3,2,-2).

Решение:

Так как плоскость параллельна оси ОY, то воспользуемся неполным уравнением плоскости.

Ax+Cz+D=0

В силу того, что точки К и М лежат на плоскости, получим два условия.

Выразим из этих условий коэффициенты А и С через D.

Подставим найденные коэффициенты в неполное уравнение плоскости:

так как , то сокращаем D:

Пример 5:

Найти уравнение плоскости проходящей через три точки М(7,6,7), К(5,10,5), R(-1,8,9)

Решение:

Воспользуемся уравнением плоскости проходящей через 3 заданные точки.

подставляя координаты точек М,К,R как первой, второй и третьей получим:

раскроем определитель по 1 ой строке.

Пример 6:

Найти уравнение плоскости, проходящей через точки М 1 (8,-3,1); М 2 (4,7,2) и перпендикулярно плоскости 3х+5у-7z-21=0

Решение:

Сделаем схематический чертёж (Рис 5.7)

Рис 5.7

Обозначим заданную плоскость Р 2 а искомую плоскость Р 2. . Из уравнения заданной плоскости Р 1 определяем проекции вектора , перпендикулярного плоскости Р 1.

Вектор путём параллельного переноса может быть перемещён в плоскость Р 2 , так как по условию задачи плоскость Р 2 перпендикулярна плоскости Р 1 , а это значит вектор параллелен плоскости Р 2.

Найдём проекции вектора лежащего в плоскости Р 2:

теперь мы имеем два вектора и , лежащих в плоскости Р 2 . очевидно вектор , равный векторному произведению векторов и будет перпендикулярен плоскости Р 2 , т. к. он перпендикулярен и , поэтому его нормального вектора плоскости Р 2.

Векторы и заданы своими проекциями поэтому:

Далее, используем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярную вектору. В качестве точки можно взять любую из точек М 1 или М 2 , например М 1 (8,-3,1); В качестве нормального вектора к плоскости Р 2 берём .

74(х-8)+25(у+3)+50(z-1)=0

3(х-8)+(у-3)+2(z-1)=0

3х-24+у+3+27-2=0

3х+у+2z-23=0

Пример 7:

Прямая задана пересечением двух плоскостей. Найти канонические уравнения прямой.

Решение:

Имеем уравнение в виде:

Надо найти точку (х 0 ,у 0 ,z 0 ), через которую проходит прямая и направляющий вектор .

Выберем произвольно одну из координат. Например, z=1 , тогда получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Таким образом, мы нашли точку лежащую на искомой прямой (2,0,1).

В качестве направляющего вектора искомой прямой возьмём векторное произведения векторов и , являющихся нормальными векторами т.к. , а значит параллельно искомой прямой.

Таким образом, направляющий вектор прямой имеет проекции . Используя уравнение прямой проходящий через заданную точку параллельно заданному вектору:

Итак искомое каноническое уравнение имеет вид:

Пример 8:

Найти координаты точки пересечения прямой и плоскости 2x+3y+3z-8=0

Решение:

Запишем заданное уравнение прямой в параметрическом виде.

х=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

каждой точке прямой соответствует единственное значение параметра t . Для нахождения параметра t соответствующего точке пересечения прямой и плоскости подставим в уравнение плоскости выражение х, у, z через параметр t.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

тогда координаты искомой точки

искомая точка пересечения имеет координаты (1;1;1).

Пример 9:

Найти уравнение плоскости проходящей через параллельные прямые.

Сделаем схематический чертёж (Рис 5.9)

Рис 5.9

Из заданных уравнений прямых и определяем проекции направляющих векторов этих прямых . Найдём проекции вектора , лежащего в плоскости Р, а точки и берём из канонических уравнений прямых М 1 (1,-1,2) и М 2 (0,1,-2).

Уравнение, которое кроме неизвестной величины содержит также другую дополнительную величину, которая может принимать различные значения из некоторой области, называется параметрическим . Эта дополнительная величина в уравнении называется параметр . На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть написано множество уравнений. Мы рассмотрим модуль параметрического уравнения и решение простых параметрических уравнений.

Задача 1 Решите уравнения в отношении к $x$
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x = x + b$
F) $ax = 3a$

Решение :

A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, то есть решение к данному уравнению найдено.
Для различных значений параметров, решения есть $x = 7 – a$

B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$

C) $x + a = 2a – x \Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}$

D) $ax = 5$, когда а отличается от 0 мы можем разделить обе части на a и мы получим $x = 5$
Если $a = 0$, мы получим уравнение, такое как $0.x = 5$, и которое не имеет решения;

E) $a – x = x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac{a-b}{2}$

F) Когда a = 0 уравнение ax = 3a равно 0.x = 0
Поэтому, любое x является решением. Если a отличается от 0, тогда
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac{3a}{a} \Leftrightarrow x = 3$

Задача 2 Если a является параметром, решите уравнение:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$

Решение :

A) Если $a + 1$ отлично от 0, то есть.. $a \neq -1$,
тогда $x = \frac{2a+3}{a+1}$;
если $a + 1 = 0$, i.e. $a = - 1$
уравнение принимает вид $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, что не имеет решения;

B) $2a + x = ax + 4 \Leftrightarrow$
$x – ax = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Если $(1 – a) \neq 0$, то есть a $\neq 1$; решение будет
$x = \frac{2(2 - a)}{(1 - a)}$;
Если $a = 1$ уравнение примет вид $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, что не имеет решения

C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a \Leftrightarrow$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Если $a - 1 \neq 0$ и $a + 1 \neq 0$ то есть $a \neq 1, -1$,
решением есть is $x = \frac{a}{(a - 1)(a + 1)}$
Если $a = 1$ or $a = -1$, уравнение принимает вид is $0\cdot x = \pm 1$, что не имеет решения

D) $a^2x + x = a \Leftrightarrow$
$(a^2 + 1)x = a$
В этом случае $a^2 + 1 \neq 0$ для любого $а$, потому что это есть сумма позитивного числа (1) и одного негативного числа
$(a^2 \geq 0)$ поэтому $x = \frac{a}{a^2 + 1}$

Задача 3 Если a and b являются параметрами, решите уравнения:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 – a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Решение :

A) $ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$
Если $a \neq 0$, тогда решение есть $x = -\frac{b}{a}$.
Если $a = 0, b \neq 0$, уравнение принимает вид $0\cdot x = -b$ и не имеет решения.
Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0\cdot x = 0$ и любое $x$ является решением;

B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax – x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
Если $a - 1 \neq 0$, i.e. $a \neq 1$, решение есть is $x = -\frac{2b}{a-1}$
Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, и $b \neq 0$, уравнение принимает вид $0\cdot x = - 2b$ и не имеет решения

C) Если $b - 1 \neq 0$, то есть $b \neq 1$,
решением есть $y = \frac{1-a}{b-1}$
Если $b - 1 = 0$, то есть $b = 1$, но $1 – a \neq 0$,
то есть $a \neq 1$, уравнение принимает вид $0\cdot y = 1 – a$ и не имеет решения.
Если $b = 1$ и $a = 1$ уравнение принимает вид $0\cdot y = 0$ и любое $y$ является решением

D) $b^2 + 1 \neq 0$ для любого $b$(почему?), поэтому
$y = \frac{a+2}{b^2}$ является решением уравнения.

Задача $4$ Для каких значений $x$ следующие выражения имеют равные значения:
A) $5x + a$ и $3ax + 4$
B) $2x - 2$ и $4x + 5a$

Решение :

Чтобы получить одинаковые значения мы должны найти решения уравнений
$5x + a = 3ax + 4$ и $2x – 2 = 4x + 5a$

A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – a \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 – a$
Если $5 - 3a \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{5}{3}$, решения есть $x = \frac{4-a}{5-3a}$
Если $5 - 3a = 0$, т.e. $a = \frac{5}{3}$, уравнение принимает вид $0\cdot x = 4 – \frac{5}{3} \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac{7}{3}$, что не имеет решения

B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac{2+5a}{2}$

Задача 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$

Решение :

A) $|ax + 2| = 4 \Leftrightarrow ax + 2 = 4$ или $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ или $ax = - 6$
Если $a \neq 0$, уравнения примут вид $x = \frac{2}{a}$ or $x = -\frac{6}{a}$
Если $a = 0$, уравнения не имею решения

B) Если $a Если $a > 0$, это эквивалентно $2x + 1 = 3a$
или $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3a-1}{2}$ or
$2x = -3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac{3a-1}{2} = -\frac{3a-1}{2}$

C) $|ax + 2a| = 3 \Leftrightarrow ax + 2a = 3$ или $ax + 2a = - 3$,
и мы находим $ax = 3 - 2a$ или $ax = -3 - 2a$
Если a = 0, тогда нет решений, если $a \neq 0$
решениями есть: $x = \frac{3-2a}{a}$ и $x = -\frac{3+2a}{a}$

Задача 6 Решите уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где a и b являются действительными параметрами. Найдите, для каких значениях a уравнение имеет в качестве решения натуральное число, если $b = 7$

Решение :

Представим данное уравнение в следующем виде: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Возможны следующие варианты:
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, уравнение имеет единственное решение
$x = \frac{2(b-1)}{2a-1}$
Если $a = \frac{1}{2}$ и $b = 1$, уравнение получает вид $0\cdot x = 0$ и любое $x$ является решением
Если $a = \frac{1}{2}$ и $b \neq 1$, мы получаем $0\cdot x = 2(b - 1)$, где $2(b - 1) \neq 0$
В этом случае уравнение не имеет решения.
Если $b = 7$ и $a \neq \frac{1}{2}$ является единственным решением
$x = \frac{2(7-1)}{2a-1} = \frac{12}{2a-1}$
Если a целое число, тогда $2a - 1$ также есть целым числом и решением есть
$x = \frac{12}{2a-1}$ является натуральным числом когда
$2a - 1$ есть положительным делителем для числа $12$.
Чтобы a было целым числом, делитель числа $12$ должен быть нечетным. Но только $1$ и $3$ являются положительными нечетными числами, на которые делится12
Поэтому $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ или $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ или $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 1$

Задача 7 Решите уравнение $|ax - 2 – a| = 4$, где a является параметром. Найдите, для каких значениях а корнями уравнения являются целые отрицательные числа.

Решение :

Из определения модуля мы получаем
$|ax - 2 – x| = 4 \Leftrightarrow ax - 2 – x = 4$ или $ax - 2 – x = - 4$
Из первого равенства мы получаем $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a - 1)x = 6$
Из второго равенства мы получаем $(a - 1)x = -2$
Если $a - 1 = 0$, т.e. $a = 1$, последнее уравнение не имеет решения.
Если $a \neq 1$ мы находим, что $x = \frac{6}{a-1}$ или $x = -\frac{2}{a-1}$
Чтобы эти корни были целыми отрицательными числами, должно выполняться следующее:
Для первого равенство $a - 1$ должно быть отрицательным делителем 6, и для второго - положительным делителям 2
Тогда $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ или $a - 1 = 1; 2$
Мы получаем $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a - 1 = -3 \Leftrightarrow a = -2; a - 1 = -6 \Leftrightarrow a = -5$
или $a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3$
Тогда $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3$ являются решениями задачи.

Задача 8 Решите уравнение:
A) $3ax – a = 1 – x$, где a это параметр;
B) $2ax + b = 2 + x$, где a и b являются параметрами

Решение :

A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Если $3a + 1 \neq 0$, т.e. $a \neq -11 /3 /3$ , решение есть
$x = \frac{1+a}{3a+1}$
Если $a = -\frac{1}{3}$ уравнение принимает вид $0\cdot x = \frac{1.1}{3}$, что не имеет решения.

B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}, x = \frac{2-b}{2a-1}$ является решением.
Если $a = \frac{1}{2}$ уравнение принимает вид $0.x = 2 – b$
Тогда, если $b = 2$, любое x является решением, если $b \neq 2$, уравнение не имеет решения.

Задача 9 Дано уравнение $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , где к - целое число. Найдите, для каких значений k уравнение:
A) имеет корень $-\frac{4}{3}$
B) не имеет решения;
C) имеет корень как натуральное число.

Решение :

Перепишем уравнение в виде $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$

A) Если $x = -\frac{4}{3}$, для k мы получим уравнение $-\frac{4}{3k} = 12 \Leftrightarrow k = - 9$

B) Уравнение $kx = 12$ не имеет решения, когда $k = 0$

C) Когда $k \neq 0$ является корнем $x = \frac{12}{k}$ и это натуральное число, если k есть целым положительным числом, на которое делится 12, т.e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Задача 10 Решите уравнение:
A) $2ax + 1 = x + a$, где a является параметром;
B) $2ax + 1 = x + b$, где a и b являются параметрами.

Решение :

A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, единственным решением уравнения является
$x = \frac{a-1}{2a-1}$
Если $2a - 1 = 0$, т.e. $a = \frac{1}{2}$, уравнение принимает вид
$0.x = \frac{1}{2}- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac{1}{2}$, что не имеет решения

B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
Если $2a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, решением является
$x = \frac{b-1}{2a-1}$
Если $a = \frac{1}{2}$, уравнения эквивалентно $0.x = b - 1$
Если b = 1 любое x является решением, если $b \neq 1$ тогда нет решения.

Задача 11 Дано уравнение $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, где параметром является целым числом. Найдите, для каких значений a уравнение в качестве корней имеет:
А) $\left(-\frac{2}{3}\right)$
B) целое число
C) натуральное число

Решение :

A) Если $x = -\frac{2}{3}$ есть решением уравнения, тогда должно быть истинным
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac{2}{3}\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac{4a}{3} \Leftrightarrow$
$\frac{4a}{3} - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac{4a-6a}{3} = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac{2a}{3} = 8 \Leftrightarrow a = -12$

B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
Если $a \neq 0$ решением является $x = \frac{8}{a}$, это целое число, если а является делимым числа $8$.
Поэтому; $±2; ±4; ±8$
Если $a=0$, уравнение не имеет решения

C) Чтобы получить натуральное (целое положительное) число для этого решения $x=\frac{8}{a}$ число должно равняться: $a=1, 2, 4, 8$

Задача 12 Дано уравнение $2 – x = 2b – 2ax$, где $a$ и $b$ - параметры. Найдите, для каких значений a уравнение имеет решения в виде натурального числа, если $b = 7$

Решение :

В уравнение мы подставляем $b = 7$ и получаем $2 – x = 2.7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a - 1)x = 12$
Если $2a -1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{2}$, уравнение примет вид
$x = \frac{12}{2a-1}$ и это будет натуральное число, если знаменатель $2a - 1$ есть положительным делимым $12$ и кроме того, чтобы оно было целым числом, необходимо, чтобы $2a - 1$ было нечетным числом.
Поэтому $2a - 1$ может быть $1$ или $3$
Из $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ и $2a - 1 = 3$
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$

Задача 13 Дана функция $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, где a - параметр. Найдите, для каких значений a график функции:
А) пересекает ось абсцисс;
B) пересекает ось абсцисс

Решение :

Чтобы график функции пересёк ось абсцисс, необходимо, чтобы
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ имело решения и не имело решения для непересечения оси абсцисс.
С уравнения мы получаем $(3a - 1)x = 2a - 1$
Если $3a - 1 \neq 0$, т.e. $a \neq \frac{1}{3}$, уравнение имеет решения
$x = \frac{2a-1}{3a-1}$, поэтому график функции пересекает ось абсцисс.
Если $a = \frac{1}{3}$, мы получаем $0.x = \frac{2}{3} - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac{1}{3}$, что не имеет решения.
Поэтому, если $a = \frac{1}{3}$, график функций не пересекает ось абсцисс.

Задача 14 Решите параметрическое уравнение:
A) $|x -2| = a$
B) $|ax -1| = 3$
C) $|ax - 1| = a - 2$

Решение :

A) Если $a 0$ мы получаем:
$|x - 2| = a \Leftrightarrow x - 2 = a$ или $x - 2 = -a$
Из $x - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, и из
$x - 2 = -a \Rightarrow x = 2 – a$
Если $a = 0$, тогда $x - 2 = 0$ или $x = 2$

B) $|ax - 1| = 3 \Leftrightarrow ax - 1 = 3$ или $ax - 1 = -3$
откуда $ax = 4$ или $ax = - 2$
Если $a \neq 0$ решения: $x = \frac{4}{a}$ or $x = -\frac{2}{a}$
Если $a = 0$, здесь нет решения

C) Если $a - 2 Если $a - 2 > 0$, т.e. $a > 2$ мы получаем
$|ax - 1| = a - 2 \Leftrightarrow ax - 1 = a - 2$ или $ax - 1 = 2 – а$
Итак, мы получаем $ax = a - 1$ или $ax = 3 – a$
Потому что $a > 2, a \neq 0$, therefore
$x = \frac{a-1}{a}$ или $x = \frac{3-a}{a}$.
Если $a = 2$, уравнения эквивалентно
$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Задача 15 Найдите, для каких значений параметра m (a), два уравнения эквивалентны:
A) $\frac{x+m}{2} = 1 – m$ и $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac{x+m}{2} = 1 – m$ и $\frac{x-m}{3} = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ и $ax + 2a = 1 + x$, если $x > 3$

Решение :

A) Решим второе уравнение. Запишем его в виде:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
Для первого мы получим
$\frac{x+m}{2} = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
Эти два уравнения эквивалентны, если они имеют одинаковые корни, т.e.
$2 - 3m = 0 \Leftrightarrow$ $m = \frac{2}{3}$

B) Для первого уравнения решением есть $х = 2 - 3m$ и для второго мы получим
$x – m = 3 - 6m \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5m$
Они имеют одинаковые корни, когда
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}$

C) Так как $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 – x) = x - 3$
Первое уравнение будет выглядеть так: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 - 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ или $x = 4$
С условием, что $х> 3$, поэтому только $x = 4$ есть решением. Для второго уравнения мы получаем
$ax – x = 1 - 2a \Leftrightarrow (a - 1)x = 1 - 2a$
Если $a - 1 = 0$, здесь нет решения (Почему?), если $a - 1 \neq 0$, i.e. $a \neq 1$, решением есть
$x = \frac{1-2a}{a-1}$ Эти два уравнения будут равны, если $4 = \frac{1-2a}{a-1} \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac{5}{6}$

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Пусть l - некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор

а =/= 0, коллинеарный прямой l , называется направляющим вектором этой прямой.

Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.

Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M 0 , а М - произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор \(\overrightarrow{M_0 M}\) коллинеарен вектору а , т. е.

\(\overrightarrow{M_0 M}\) = ta , t \(\in \) R . (1)

Если точки М и M 0 заданы своими радиус-векторами r и r 0 (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то \(\overrightarrow{M_0 M}\) = r - r 0 , и уравнение (1) принимает вид

r = r 0 + ta , t \(\in \) R . (2)

Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром .

Пусть точка M 0 прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:

M 0 (х 0 ; у 0 , z 0), а = (а 1 ; а 2 ; а 3).

Тогда, если (х; у; z ) - координаты произвольной точки М прямой l , то

\(\overrightarrow{M_0 M} \) = (х - х 0 ; у - у 0 ; z - z 0)

и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:

х - х 0 = tа 1 , у - у 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3

$$ \begin{cases} x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\end{cases} (3)$$

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

M 0 (-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).

В данном случае х 0 = -3, у 0 = 2, z 0 = 4; а 1 = 2; а 2 = -5; а 3 = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой

$$ \begin{cases} x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end{cases} $$

Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.

Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда

$$ t=\frac{x-x_0}{a_1},\;\;t=\frac{y-y_0}{a_2},\;\;t=\frac{z-z_0}{a_3} $$

и, следовательно,

$$ \frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3} \;\; (4)$$

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой .

Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.

Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а , например а 1 равна нулю, то, исключив параметр t , снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z :

\(x=x_0, \;\; \frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)

Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)

\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{a_2}=\frac{z-z_0}{a_3}\)

считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 , z 0) параллельно координатной плоскости yOz , так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а 2 ; а 3).

Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а , например а 1 и а 2 равны нулю, то эти уравнения принимают вид

х = х 0 , y = у 0 , z = z 0 + ta 3 , t \(\in \) R .

Это уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (х 0 ; у 0 ; z 0) параллельно оси Oz . Для такой прямой х = х 0 , y = у 0 , a z - любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)

\(\frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{0}=\frac{z-z_0}{a_3}\)

Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а 1 , а 2 , а 3 не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.

Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M 0 (- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:

\(\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-7}{3}\)

Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и

M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2). Очевидно, что за направляющий вектор этой прямой можно взять вектор a = (х 2 - х 1 ; у 2 - у 1 ; z 2 - z 1), а за точку М 0 , через которую проходит прямая, например, точку M 1 . Тогда уравнения (4) запишутся так:

\(\frac{x-x_1}{x_2 - x_1}=\frac{y-y_1}{y_2 - y_1}=\frac{z-z_1}{z_2 - z_1}\) (5)

Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) и

M 2 (х 2 ; у 2 ; z 2).

Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (-4; 1; -3) и M 2 (-5; 0; 3).

В данном случае х 1 = -4, у 1 = 1, z 1 = -3, х 2 = -5, у 2 = 0, z 2 = 3. Подставив эти значения в формулы (5), получим

\(\frac{x+4}{-1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+3}{6}\)

Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M 1 (3; -2; 1) и

M 2 (5; -2; 1 / 2).

После подстановки координат точек M 1 и M 2 в уравнения (5) получим

\(\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-\frac{1}{2}}\)