Система лоренца. «Моделирование аттрактора Лоренца
И все траектории из некоторой окрестности texvc стремятся к Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): L при Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): t\to\infty (отсюда название).
Аттрактор Лоренца был найден в численных экспериментах Лоренца , исследовавшего поведение траекторий нелинейной системы:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \begin{cases} \dot x = \sigma (y - x) \\ \dot y = x (r - z) - y \\ \dot z = x y - b z \end{cases}
при следующих значениях параметров: σ=10, r =28, b =8/3, x(0)=1, y(0)=0, z(0)=0. Эта система вначале была введена как первое нетривиальное галёркинское приближение для задачи о конвекции морской воды в плоском слое, чем и мотивировался выбор значений σ, r и b , но она возникает также и в других физических вопросах и моделях:
- конвекция в замкнутой петле;
- вращение водяного колеса;
- модель одномодового лазера ;
- диссипативный гармонический осциллятор с инерционной нелинейностью.
Исходная гидродинамическая система уравнений:
Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \begin{cases} \frac { \partial \vec v }{\partial t} + \left(\vec v \nabla \right) \vec v = -\frac {\nabla p}{\rho} + \nu \nabla ^2 \vec v + \vec g \\ \frac { \partial \rho }{\partial t} + \nabla \cdot \left(\rho \vec v \right) = 0 \\ \frac { \partial T }{\partial t} + \nabla \cdot \left(T \vec v \right) = \chi \nabla ^2 T \\ \rho = \rho_0 \left(1 - \gamma \left(T - T_0 \right) \right) \end{cases},
где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \vec v - скорость течения, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T - температура жидкости, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_0 - температура верхней границы (на нижней поддерживается Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): T_0 + \Delta T ), Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \rho - плотность, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): p - давление, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \vec g - сила тяжести, Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \gamma,\ \chi,\ \nu - соответственно коэффициент теплового расширения , коэффициент температуропроводности и кинематической вязкости .
В задаче о конвекции модель возникает при разложении скорости течения и температуры в двумерные ряды Фурье и последующей их «обрезки» с точностью до первых-вторых гармоник. Кроме того, приведённая полная система уравнений гидродинамики записывается в приближении Буссинеска . Обрезка рядов в определённой мере оправдана, так как Сольцмен в своих работах продемонстрировал отсутствие каких-либо интересных особенностей в поведении большинства гармоник .
Применимость и соответствие реальности
Обозначим физический смысл переменных и параметров в системе уравнений применительно к упомянутым задачам.
- Конвекция в плоском слое. Здесь x отвечает за скорость вращения водяных валов, y и z - за распределение температуры по горизонтали и вертикали, r - нормированное число Рэлея , σ - число Прандтля (отношение коэффициента кинематической вязкости к коэффициенту температуропроводности), b содержит информацию о геометрии конвективной ячейки.
- Конвекция в замкнутой петле. Здесь x - скорость течения, y - отклонение температуры от средней в точке, отстоящей от нижней точки петли на 90°, z - то же, но в нижней точке. Подведение тепла производится в нижней точке.
- Вращение водяного колеса. Рассматривается задача о колесе, на ободе которого укреплены корзины с отверстиями в дне. Сверху на колесо симметрично относительно оси вращения льётся сплошной поток воды. Задача равнозначна предыдущей, перевернутой «вверх ногами», с заменой температуры на плотность распределения массы воды в корзинах по ободу.
- Одномодовый лазер. Здесь x - амплитуда волн в резонаторе лазера, y - поляризация , z - инверсия населённостей энергетических уровней , b и σ - отношения коэффициентов релаксации инверсии и поля к коэффициенту релаксации поляризации, r - интенсивность накачки .
Стоит указать, что применительно к задаче о конвекции модель Лоренца является очень грубым приближением, весьма далёким от реальности. Более-менее адекватное соответствие существует в области регулярных режимов, где устойчивые решения качественно отображают экспериментально наблюдаемую картину равномерно вращающихся конвективных валов (Ячейки Бенара). Хаотический режим, присущий модели, не описывает турбулентной конвекции в силу существенной обрезки исходных тригонометрических рядов.
Интересным является существенно большая точность модели при некоторой её модификации, применяемая в частности для описания конвекции в слое, подвергаемом вибрации в вертикальном направлении либо переменному тепловому воздействию. Такие изменения внешних условий приводят к модулированию коэффициентов в уравнениях. При этом высокочастотные Фурье-компоненты температуры и скорости существенно подавляются, улучшая соответствие модели Лоренца и реальной системы.
Примечательно везение Лоренца при выборе значения параметра Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): r , так как система приходит к странному аттрактору только при значениях, больших 24,74, при меньших поведение оказывается совершенно иным.
Поведение решения системыРассмотрим изменения в поведении решения системы Лоренца при различных значениях параметра r. На иллюстрациях к статье приведены результаты численного моделирования для точек с начальными координатами (10,10,10) и (-10,-10,10). Моделирование производилось с помощью приведённой ниже программы, написанной на языке Фортран , построение графиков по полученным таблицам - из-за слабых графических возможностей Фортрана с помощью Compaq Array Viewer.
- r
load(draw)$
draw3d(point_size=0.01, points_joined=true,
point_type=filled_circle,points(x,y,z))$
Напишите отзыв о статье "Аттрактор Лоренца"Примечания
Литература
- Кузнецов С. П. , Лекция 3. Система Лоренца; Лекция 4. Динамика системы Лоренца. // - М.: Физматлит, 2001.
- Saltzman B . Finite amplitude free convection as an initial value problem. // Journal of the atmospheric science, № 7, 1962 - p. 329-341.
- Лоренц Э . Детерминированное непериодическое движение // Странные аттракторы. - М., 1981. - С. 88-116.
– Как же они могли допустить такое? Я всегда думала, что Думающие Тёмные достаточно умны и осторожны? Это ведь могло помочь людям увидеть ложь, преподносимую им «святыми» отцами церкви. Разве не так?
– Задумался ли кто-то, Изидора?.. – Я грустно покачала головой. – Вот видишь... Люди не доставляют им слишком большого беспокойства...
– Можешь ли ты показать мне, как она учила, Север?..
Я, как дитя, спешила задавать вопросы, перескакивая с темы на тему, желая увидеть и узнать как можно больше за отпущенное мне, уже почти полностью истёкшее, время...
И тут я снова увидела Магдалину... Вокруг неё сидели люди. Они были разного возраста – молодые и старые, все без исключения длинноволосые, одетые в простые тёмно-синие одежды. Магдалина же была в белом, с распущенными по плечам волосами, покрывавшими её чудесным золотым плащом. Помещение, в котором все они в тот момент находились, напоминало произведение сумасшедшего архитектора, воплотившего в застывшем камне свою самую потрясающую мечту...Как я потом узнала, пещера и вправду называется – Кафедральная (Сathedral) и существует до сих пор.
Пещеры Лонгрив (Longrives), LanguedocЭто была пещера, похожая на величественный кафедральный собор... который, по странной прихоти, зачем-то построила там природа. Высота этого «собора» достигала невероятных размеров, уносясь прямо «в небо» удивительными, «плачущими» каменными сосульками, которые, где-то наверху слившись в чудотворный узор, снова падали вниз, зависая прямо над головами сидящих... Природного освещения в пещере, естественно, не было. Также не горели и свечи, и не просачивался, как обычно, в щели слабый дневной свет. Но несмотря на это, по всему необычному «залу» мягко разливалось приятное и равномерное золотистое сияние, приходившее неизвестно откуда и позволявшее свободно общаться и даже читать...
Сидящие вокруг Магдалины люди очень сосредоточенно и внимательно наблюдали за вытянутыми вперёд руками Магдалины. Вдруг между её ладонями начало появляться яркое золотое свечение, которое, всё уплотняясь, начало сгущаться в огромный голубоватый шар, который на глазах упрочнялся, пока не стал похожим на... планету!..
– Север, что это?.. – удивлённо прошептала я. – Это ведь наша Земля, не так ли?
Но он лишь дружески улыбнулся, не отвечая и ничего не объясняя. А я продолжала завороженно смотреть на удивительную женщину, в руках которой так просто и легко «рождались» планеты!.. Я никогда не видела Землю со стороны, лишь на рисунках, но почему-то была абсолютно уверена, что это была именно она. А в это время уже появилась вторая планета, потом ещё одна... и ещё... Они кружились вокруг Магдалины, будто волшебные, а она спокойно, с улыбкой что-то объясняла собравшимся, вроде бы совершенно не уставая и не обращая внимания на удивлённые лица, будто говорила о чём-то обычном и каждодневном. Я поняла – она учила их астрономии!.. За которую даже в моё время не «гладили» по голове, и за которую можно было ещё всё так же легко угодить прямиком в костёр... А Магдалина играючи учила этому уже тогда – долгих пятьсот лет тому назад!!!
Видение исчезло. А я, совершенно ошеломлённая, никак не могла очнуться, чтобы задать Северу свой следующий вопрос...
– Кто были эти люди, Север? Они выглядят одинаково и странно... Их как бы объединяет общая энергетическая волна. И одежда у них одинаковая, будто у монахов. Кто они?..
– О, это знаменитые Катары, Изидора, или как их ещё называют – чистые. Люди дали им это название за строгость их нравов, чистоту их взглядов и честность их помыслов. Сами же катары называли себя «детьми» или «Рыцарями Магдалины»... коими в реальности они и являлись. Этот народ был по-настоящему СОЗДАН ею, чтобы после (когда её уже не будет) он нёс людям Свет и Знание, противопоставляя это ложному учению «святейшей» церкви. Они были самыми верными и самыми талантливыми учениками Магдалины. Удивительный и чистый народ – они несли миру ЕЁ учение, посвящая этому свои жизни. Они становились магами и алхимиками, волшебниками и учёными, врачами и философами... Им подчинялись тайны мироздания, они стали хранителями мудрости Радомира – сокровенных Знаний наших далёких предков, наших Богов... А ещё, все они несли в своём сердце негаснущую любовь к их «прекрасной Даме»... Золотой Марии... их Светлой и загадочной Магдалине... Катары свято хранили в своих сердцах истинную историю прерванной жизни Радомира, и клялись сохранить его жену и детей, чего бы им это ни стоило... За что, позже, два столетия спустя, все до одного поплатились жизнью... Это по-настоящему великая и очень печальная история, Изидора. Я не уверен, нужно ли тебе её слушать.
– Но я хочу узнать о них, Север!.. Скажи, откуда же они появились, все одарённые? Не из долины ли Магов, случаем?
– Ну, конечно же, Изидора, ведь это было их домом! И именно туда вернулась Магдалина. Но было бы неправильно отдавать должное лишь одарённым. Ведь даже простые крестьяне учились у Катаров чтению и письменности. Многие из них наизусть знали поэтов, как бы дико сейчас для тебя это не звучало. Это была настоящая Страна Мечты. Страна Света, Знания и Веры, создаваемая Магдалиной. И эта Вера распространялась на удивление быстро, привлекая в свои ряды тысячи новых «катар», которые так же яро готовы были защищать даримое им Знание, как и дарившую его Золотую Марию... Учение Магдалины ураганом проносилось по странам, не оставляя в стороне ни одного думающего человека. В ряды Катар вступали аристократы и учёные, художники и пастухи, землепашцы и короли. Те, кто имели, легко отдавали катарской «церкви» свои богатства и земли, чтобы укрепилась её великая мощь, и чтобы по всей Земле разнёсся Свет её Души.
– Прости, что прерву, Север, но разве у Катар тоже была своя церковь?.. Разве их учение также являлось религией?
– Понятие «церковь» очень разнообразно, Изидора. Это не была та церковь, как понимаем её мы. Церковью катаров была сама Магдалина и её Духовный Храм. То бишь – Храм Света и Знания, как и Храм Радомира, рыцарями которого вначале были Тамплиеры (Тамплиерами Рыцарей Храма назвал король Иерусалима Болдуин II. Temple – по-французски – Храм.) У них не было определённого здания, в которое люди приходили бы молиться. Церковь катар находилась у них в душе. Но в ней всё же имелись свои апостолы (или, как их называли – Совершенные), первым из которых, конечно же, была Магдалина. Совершенными же были люди, достигшие самых высших ступеней Знания, и посвятившие себя абсолютному служению ему. Они непрерывно совершенствовали свой Дух, почти отказываясь от физической пищи и физической любви. Совершенные служили людям, уча их своему знанию, леча нуждающихся и защищая своих подопечных от цепких и опасных лап католической церкви. Они были удивительными и самоотверженными людьми, готовыми до последнего защищать своё Знание и Веру, и давшую им это Магдалину. Жаль, что почти не осталось дневников катар. Всё, что у нас осталось – это записи Радомира и Магдалины, но они не дают нам точных событий последних трагичных дней мужественного и светлого катарского народа, так как происходили эти события уже спустя две сотни лет после гибели Иисуса и Магдалины.
– Скажи, Север, как же погибла Золотая Мария? У кого хватило столь чёрного духу, чтобы поднять свою грязную руку на эту чудесную женщину?..
– Церковь, Изидора... К сожалению, всё та же церковь!.. Она взбесилась, видя в лице катар опаснейшего врага, постепенно и очень уверенно занимавшего её «святое» место. И осознавая своё скорое крушение, уже не успокаивалась более, пытаясь любым способом уничтожить Магдалину, справедливо считая её основным виновником «преступного» учения и надеясь, что без своей Путеводной Звезды катары исчезнут, не имея ни вождя, ни Веры. Церковь не понимала, насколько сильно и глубоко было Учение и Знание катар. Что это была не слепая «вера», а образ их жизни, суть того, ДЛЯ ЧЕГО они жили. И поэтому, как бы ни старались «святые» отцы привлечь на свою сторону катар, в Чистой Стране Окситании не нашлось даже пяди земли для лживой и преступной христианской церкви...
– Получается, подобное творил не только Караффа?!.. Неужели же такое было всегда, Север?..
Меня объял настоящий ужас, когда я представила всю глобальную картину предательств, лжи и убийств, которые свершала, пытаясь выжить, «святая» и «всепрощающая» христианская вера!..
– Как же такое возможно?! Как вы могли наблюдать и не вмешиваться? Как вы могли с этим жить, не сходя с ума, Север?!!
Он ничего не ответил, хорошо понимая, что это всего лишь «крик души» возмущённого человека. Да и я ведь прекрасно знала его ответ... Потому мы какое-то время молчали, как заблудшие в темноте, одинокие души...
– Так как же всё-таки погибла Золотая Мария? Можешь ли ты рассказать мне об этом? – не выдержав затянувшейся паузы, снова спросила я.
Север печально кивнул, показывая, что понял...
– После того, как учение Магдалины заняло большую половину тогдашней Европы, Папа Урбан II решил, что дальнейшее промедление будет смерти подобно для его любимой «святейшей» церкви. Хорошенько продумав свой дьявольский план, он, не откладывая, послал в Окситанию двух верных «выкормышей» Рима, которых, как «друзей» катар, знала Магдалина. И опять же, как это слишком часто бывало, чудесные, светлые люди стали жертвами своей чистоты и чести... Магдалина приняла их в свои дружеские объятия, щедро предоставляя им еду и крышу. И хотя горькая судьба научила её быть не слишком доверчивым человеком, подозревать любого было невозможно, иначе её жизнь и её Учение потеряли бы всякий смысл. Она всё ещё верила в ДОБРО, несмотря ни на что...Изв. вузов «ПНД», т. 15, № 1, 2007 УДК 517.9
АТТРАКТОР ЛОРЕНЦА В СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ
А.М. Мухамедов
В рамках ранее предложенной модели хаотической динамики сплошной среды получена реализация трехмерного режима пульсаций скорости течения, отвечающего аттрактору типа Лоренца. Решение представляет собой набор структур, определяющих геометрию редуцированного к трехмерному случаю расслоенного многообразия, образованного пульсациями скоростей течения среды. Сама динамика аттрактора Лоренца проявляется в виде временной зависимости пульсаций скоростей вдоль линий тока среднего течения.
Как известно, один из классических примеров детерминированного хаоса -аттрактор Лоренца - открытый в результате гидродинамических исследований прикладного характера, все еще не получил адекватного воспроизведения в формализме существующей турбулентной механики. В работах автора была высказана гипотеза о том, что классическое гидродинамическое решение этой задачи не может быть получено в принципе, и предложено обоснование такого вывода. В его основе лежало понимание того, что аттракторные модели хаотической динамики затрагивают мезоскопический уровень движения сплошной среды, и что в классических уравнениях Навье - Стокса этот уровень не представлен. Отсюда следовало предложение расширить варианты решения проблемы аттрактора Лоренца за счет явного включения в математический формализм гидродинамики дополнительных мезоструктур, выводящих аппарат этой теории за рамки классических операций с уравнениями Навье - Стокса.
В настоящее время аттракторные режимы динамики сплошных сред конструируются в рамках моделей, представляющих собой далеко уходящие абстракции движения сплошной среды, почти не использующие представления о механических взаимодействиях частиц среды друг с другом . В одних случаях эти абстракции отображают свойства операторов эволюционного типа, действующих в иерархии вложенных друг в друга гильбертовых пространств. В других случаях они отображают динамику конечномерных систем, воспроизводящих изменения состояний среды, но при этом каждое из состояний актуально представлено всего лишь точкой соответствующего фазового многообразия. Подобное моделирование не отвечает прикладному назначению гидромеханики, требующему воспроизведения всех существенных структур непосредственно, то есть в пространстве, занятом сплошной средой. Если учесть аргументы теоретических и экспериментальных данных в пользу
существования такого представления , то воспроизведение аттракторов в контексте динамики пространственно-временных характеристик среды представляется настоятельной необходимостью.
В данной работе строится аттрактор Лоренца в рамках предложенной в модели турбулентной динамики. Согласно этой модели, фазовыми пространствами турбулентных режимов являются расслоения струй пульсаций гидродинамических величин. Геометрия пульсационных расслоений предполагается априори произвольной, определяемой моделируемыми особенностями соответствующих хаотических режимов. Основным объектом моделирования является хаотическая структура, представляющая собой комплекс неустойчивых траекторий движения точек среды. Предполагается, что каждому установившемуся турбулентному режиму отвечает вполне определенная хаотическая структура. В траектории хаотической структуры отождествлялись с множеством интегральных кривых неинтегрируемого (неголономного) распределения типа Пфаффа, заданного на расслоении пульсаций динамических переменных.
Характерной чертой предложенной модели является способ Лагранжа описания движения среды, не сводящийся, в общем случае, к описанию движения в переменных Эйлера. При этом оказалось, что описание Лагранжа замечательно приспособлено для отображения динамики систем со странными аттракторами. Вместо жестких ограничений парадигмы Эйлера описание Лагранжа накладывает гораздо более мягкие условия, служащие для определения геометрических объектов соответствующих неголономных распределений. Такое изменение акцента моделирования позволяет воспроизводить разнообразные аттракторы в динамике пучков частиц континуальных сред.
1. Зададимся уравнениями динамики пульсаций трехмодового режима
(уг + 4 (х,у!)(хк = Аг{х,у^)(И {1,3,к = 1,2,3), (1)
где хк и уг образуют наборы пространственных и динамических координат расслоения пульсаций, а объекты шгк{х,у^)(хк и Аг{х,у^)М определяют собой характер межмодовых взаимодействий режима. Можно рассматривать эти объекты и само уравнение (1) как правила образования производных от динамических координат по пространственным координатам и времени, определяемых реальной турбулентной эволюцией. Инвариантный геометрический смысл этих объектов состоит в том, что в расслоении пульсаций они определяют объект внутренней связности и вертикальное векторное поле, соответственно.
Предположим, что введенные выше динамические координаты имеют смысл пульсаций скорости течения среды, то есть актуальная скорость среды может быть разложена на поле скоростей среднего течения и пульсации по формуле
иг{х,у)= и0 {х)+ уг. (2)
Уравнения баланса массы и импульса примем в форме стандартного уравнения неразрывности и уравнения Навье - Стокса
Чр + уДи. (4)
Данная система уравнений еще не полна, так как в уравнение (4) входит давление, являющееся термодинамической переменной, динамика которой, в общем случае, выходит за рамки кинематики. Для описания пульсаций давления требуются новые динамические координаты, что увеличивает число необходимых степеней свободы для описания соответствующего турбулентного режима движения. Введем новую динамическую переменную, имеющую смысл пульсаций давления, то есть примем
p(x,y)= po(x)+ y4. (5)
Таким образом, первоначальный набор требуемых динамических координат для отображения движения сплошной среды является четырехмерным.
Возможность редукции к трехмерной системе с динамикой, аналогичной динамике системы Лоренца, заключается в том, что в уравнение (4) давление входит в виде градиента. Отсюда следует, что редукция к трехмерной динамике пульсаций скоростей может быть выполнена, если входящий в уравнение (4) градиент давления будет содержать только первые три динамические координаты. Для этого достаточно потребовать, чтобы в уравнениях динамики для четвертой координаты
dy4 + wj (x, y)dxk = A4 (x, y)dt (6)
коэффициенты форм связности w4(x,yj)dxk зависели только лишь от первых трех динамических координат. Заметим, что трехмерный режим может оказаться неустойчивым с точки зрения более полного описания, включающего в себя рассмотрение всех возбуждаемых степеней свободы. Тем не менее, мы ограничимся моделированием именно этой априори возможной динамики.
Рассмотрим условия, накладываемые уравнениями баланса (3), (4) на выражения неизвестных величин wk(x,yj)dxk и Ai(x,yj)dt, входящих в динамическое уравнение (1). Для этого подставим (2) и (5) в (3) и (4), и воспользуемся уравнениями (1) и (6). Для упрощения возникающих выражений будем считать пространственные координаты xk декартовыми. В этом случае можно не различать верхние и нижние индексы, поднимая и опуская их по мере необходимости записи ковариантных выражений. Тогда получим следующие уравнения для коэффициентов уравнения (1)
dkuk - wj = 0, (7)
Ai + (uk + yk)(djuk - wj) = -(dipo - w4i) - vDjwik. (8)
где введено обозначение Dj = dj - wk^y.
Для дальнейшего конкретизируем постановку задачи. Будем рассматривать режим, среднее поле скоростей которого описывает течение простого сдвига
uk = Ax3à\. (9)
Кроме того, сделаем предположения и в отношении геометрии расслоенного пространства пульсаций. Будем считать связность расслоения линейной функцией по динамическим координатам, то есть w^ = waj (x)yj (а = 1,..., 4). В этом случае из уравнения (8) сразу следует, что второй объект приобретает полиномиальную по динамическим координатам структуру. А именно, вертикальное векторное поле становится многочленом второго порядка по динамическим координатам, то есть
Ai = Ak (x) + Aj (x)yk + j (x)yj yk.
Таким образом, неизвестными функциями, определяющими уравнение динамики пульсаций рассматриваемого трехмодового режима, являются коэффициенты юак(х), Аг0{х), Агк{х) и А3к{х), для определения которых имеем уравнения (3) и (4). Заметим при этом, что уравнение (4) по существу сводится к определению коэффициентов вертикального векторного поля, тогда как выбор коэффициентов связности ограничивает только лишь уравнение неразрывности (3). Это уравнение оставляет значительный произвол в определении коэффициентов связности, оставляя тем самым широту моделирования пространственной структуры динамики пульсаций, согласованных с выбранным средним течением.
2. Рассмотрим возможность получения в данной задаче аттрактора типа Лоренца. С этой целью, прежде всего, обсудим разложение актуальных значений скорости на среднюю скорость и пульсации около среднего.
По смыслу пульсаций их временное среднее должно быть равным нулю, то есть
(у)т - 0. (10)
Вместе с тем, пульсации определяются как отклонения актуальных значений скорости от осредненного значения. Если среднее течение считать заданным, то отмеченное обстоятельство не позволяет выбирать в качестве модельного уравнения хаоса произвольную систему уравнений с хаотической динамикой. Для того чтобы переменные модельной системы уравнений можно было рассматривать как пульсации реальных гидромеханических величин, требуется выполнение условий (10). Если же (10) не выполняется, то это означает существование в динамике пульсаций неучтенного дрейфа. Соответственно, принятая модельная система оказывается несогласованной либо с учитываемыми действующими факторами, либо со структурой допускаемого среднего течения.
Далее, уравнение (1) является в общем случае не вполне интегрируемой системой типа Пфаффа. Свойство неинтегрируемости этого уравнения является принципиально важным, отвечающим характерной для турбулентного движения особенности. А именно, в процессе движения любые макроскопически малые турбулентные образования, частицы, моли, глобулы, утрачивают свою индивидуальность. Эта особенность учитывается неинтегрируемостью уравнения (1). По существу, (1) описывает ансамбль возможных траекторий движения точек континуума, образованного сплошной средой. Эти траектории определены в расслоении пульсаций. Их проекции на пространство, занимаемое сплошной средой, определяют динамику развития пульсаций вдоль соответствующих пространственных кривых. Заметим, что последние могут быть выбраны произвольно, определяя собой возможность рассмотрения динамики пульсаций вдоль любой пространственной кривой.
Рассмотрим для определенности динамику пульсаций вдоль линий тока среднего течения. Тогда имеем следующие динамические уравнения:
хг = и0, (11)
уг + ш)к у3 4 = Аг. (12)
Прежде чем рассматривать эту систему, преобразуем ее к безразмерным переменным. Для этого в исходном уравнении (4) вместо коэффициента вязкости введем
число Рейнольдса. Затем устраним явную зависимость от этого числа с помощью замены