На рисунке каждый из отрезков ab. Сравнение отрезков

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.

1. В этом параграфе вы познакомитесь с некоторыми понятиями геометрии. Геометрия - наука об "измерении земли". Это слово происходит от латинских слов: geo - земля и metr - мера, мерить. В геометрии изучаются различные геометрические объекты , их свойства, их связи с окружающим миром. Простейшие геометрические объекты - это точка, линия, поверхность. Более сложные геометрические объекты, например, геометрические фигуры и тела, образованы из простейших.

Если приложить к двум точкам А и В линейку и вдоль нее провести линию, соединяющую эти точки, то мы получим отрезок, который называют АВ или ВА (читаем: «а - бэ», «бэ- а»). Точки А и В называются концами отрезка (рисунок 1). Расстояние между концами отрезка, измеренное в единицах длины, называется длиной отрез ка .

Единицы длины: м - метр, см - сантиметр, дм - дециметр, мм - миллиметр, км - километр и др. (1 км = 1000 м; 1м =10 дм; 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм). Для измерения длины отрезков используют линейку, рулетку. Измерить длину отрезка, значит, выяснить, сколько раз в нем укладывается та или иная мера длины.

Равными называются два отрезка, которые можно совместить, наложив один на другой (рисунок 2). Например, можно вырезать реально или мысленно один из отрезков и приложить к другому так, чтобы совпали их концы. Если отрезки АВ и СК равны, то пишут АВ = СК. Равные отрезки имеют равные длины. Верно обратное: два отрезка, имеющие равные длины, равны. Если два отрезка имеют различные длины, то они не равны. Из двух неравных отрезков меньше тот, который составляет часть другого отрезка. Сравнивать отрезки наложением можно, используя циркуль.

Если мысленно продлить отрезок АВ в обе стороны до бесконечности, то мы получим представление о прямой АВ (рисунок 3). Любая точка, лежащая на прямой, разбивает ее на два луча (рисунок 4). Точка С разбивает прямую АВ на два луча СА и СВ. Тоска С называется началом луча .

2. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получим фигуру, называемую треугольником. Данные точки называются вершинами треугольника, а отрезки, их соединяющие, сторонами треугольника (рисунок 5). FNM - треугольник, отрезки FN, NM, FM - стороны треугольника, точки F, N, M - вершины треугольника. Стороны всех треугольников обладают следующим свойством: длина любой из сторон треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

Если мысленно продлить во все стороны, например, поверхность крышки стола, то получим представление о плоскости . Точки, отрезки, прямые, лучи располагаются на плоскости (рисунок 6).

Блок 1. Дополнительный

Мир, в котором мы живем, все, что нас окружает, древние называли природой или космосом. Пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, т.е. имеет три измерения. Их часто называют: длина, ширина и высота (например, длина комнаты 4 м, ширина комнаты 2 м и высота 3 м).

Представление о геометрической (математической) точке дает нам звезда на ночном небе, точка в конце этого предложения, след от иглы и т.д. Однако все перечисленные объекты имеют размеры, в отличие от них размеры геометрической точки считаются равными нулю (её измерения равны нулю). Поэтому реальную математическую точку можно лишь мысленно представить. Можно также сказать, в каком месте она находится. Поставив авторучкой в тетради точку, мы не изобразим геометрическую точку, но будем считать, что построенный объект есть геометрическая точка (рисунок 6). Точки обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A , B , C , D , (читают «точка а, точка бэ, точка цэ, точка дэ» ) (рисунок 7).

Провода, висящие на столбах, видимая линия горизонта (граница между небом и землей или водой), русло реки, изображенное на карте, гимнастический обруч, струя воды, бьющая из фонтана дают нам представление о линиях.

Различают замкнутые и незамкнутые линии, гладкие и негладкие линии, линии с самопересечением и без самопересечения (рисунки 8 и 9).

Лист бумаги, лазерный диск, оболочка футбольного мяча, картон упаковочной коробки, новогодняя пластиковая маска и т.д. дают нам представление о поверхностях (рисунок 10). Когда красят пол комнаты или автомобиль, то покрывают краской именно поверхность пола или автомобиля.

Тело человека, камень, кирпич, головка сыра, мяч, ледяная сосулька и т.д. дают нам представление о геометрических телах (рисунок 11).

Наиболее простая из всех линий - это прямая . Приложим к листу бумаги линейку и проведем карандашом вдоль неё прямую линию. Мысленно продолжив эту линию до бесконечности в обе стороны, мы получим представление о прямой. Считают, что прямая имеет одно измерение - длину, а два других ее измерения равны нулю (рисунок 12).

При решении задач прямую изображают в виде линии, которую проводят вдоль линейки карандашом или мелом. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, n, m (рисунок 13). Можно обозначать прямую также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую n на рисунке 13 можно обозначить: АВ или ВА, А D или D А, D В или В D .

Точки могут лежать на прямой (принадлежать прямой) и не лежать на прямой (не принадлежать прямой). На рисунке 13 изображены точки A, D, B, лежащие на прямой AB (принадлежащие прямой AB). При этом пишут. Читают: точка A принадлежит прямой AB, точка В принадлежит AB, точка D принадлежит АВ. Точка D принадлежит также и прямой m, ее называют общей точкой. В точке D прямые AB и m пересекаются. Точки P и R не принадлежат прямым AB и m:

Через любые две точки всегда можно провести прямую и причем только одну .

Из всех видов линий, соединяющих любые две точки, наименьшую длину имеет отрезок, концами которого служат данные точки (рисунок 14).

Фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков называется ломаной (рисунок 15). Отрезки, образующие ломаную, называются звеньями ломаной, а их концы - вершинами ломаной. Называют (обозначают) ломаную, перечисляя по порядку все ее вершины, например, ломаная ABCDEFG. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев. Значит, длина ломаной ABCDEFG равна сумме: AB + BC + CD + DE + EF + FG.

Замкнутая ломаная называется многоугольником , ее вершины называются вершинами многоугольника , а ее звенья сторонами многоугольника (рисунок 16). Называют (обозначают) многоугольник, перечисляя по порядку все его вершины, начиная с любой, например, многоугольник (семиугольник) ABCDEFG , многоугольник (пятиугольник) RTPKL:

Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника и обозначается латинской буквой p (читаем: пэ ). Периметры многоугольников на рисунке 13:

P ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Мысленно продлив поверхность крышки стола или оконного стекла до бесконечности во все стороны, получим представление о поверхности, которая называется плоскостью (рисунок 17). Обозначают плоскости малыми буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ, … (читаем: плоскость альфа, бетта, гамма, дельта, и т.д. ).

Блок 2. Словарь.

Составьте словарь новых терминов и определений из §2. Для этого в пустые строки таблицы впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице 2 укажите номера терминов в соответствии с номерами строк. Рекомендуется перед заполнением словаря еще раз внимательно просмотреть §2 и блок 2.1.

Блок 3. Установите соответствие (УС).

Геометрические фигуры.

Блок 4. Самопроверка.

Измерение отрезка с помощью линейки.

Напомним, что измерить отрезок АВ в сантиметрах, значит, сравнить его с отрезком длиной 1см и узнать, сколько таких отрезков по 1см помещается в отрезке АВ. Чтобы измерить отрезок в других единицах длины, поступают подобным же образом.

Для выполнения заданий работайте по плану, приведенному в левой колонке таблицы. При этом правую колонку рекомендуем закрыть листом бумаги. Затем вы сможете сопоставить свои выводы с решениями, приведенными в таблице справа.

Блок 5. Установление последовательности действий (УП).

Построение отрезка заданной длины.

Вариант 1 . В таблице записан перепутанный алгоритм (перепутанный порядок действий) построения отрезка заданной длины (например, построим отрезок ВС = 7см). В левом столбце указание к действию в правом результат выполнения этого действия. Переставьте строки таблицы так, чтобы получился верный алгоритм построения отрезка заданной длины. Запишите верную последовательность действий.

Вариант 2. В следующей таблице приведен алгоритм построения отрезка КМ = n см, где вместо n можно подставить любое число. В этом варианте нет соответствия между действием и результатом. Поэтому необходимо установить последовательность действий, затем для каждого действия выбрать его результат. Ответ запишите в виде: 2а, 1в, 4б и т.д.

Вариант 3. Используя алгоритм варианта 2, постройте в тетради отрезки при n = 3 см, n = 10 см, n = 12 см.

Блок 6. Фасетный тест.

Отрезок, луч, прямая, плоскость.

В задачах фасетного теста используются рисунки и записи под номерами 1 - 12, приведённые в таблице 1. Из них формируются данные задач. Затем к ним добавляются требования задач, которые в тесте помещены после соединительного слова «ТО». Ответы к задачам помещены после слова «РАВНО». Набор задач приведён в таблице 2. Например, задача 6.15.19 составляется следующим образом: «ЕСЛИ в задаче используется рисунок 6, з атем к нему добавляется условие под номером 15, требование задачи стоит под номером 19.»

13) построить четыре точки так, чтобы каждые три из них не лежали на одной прямой;

14) провести через каждые две точки прямую;

15) каждую из поверхностей коробки продлить мысленно во все стороны до бесконечности;

16) количество различных отрезков на рисунке;

17) количество различных лучей на рисунке;

18) количество различных прямых на рисунке;

19) количество получившихся различных плоскостей;

20) длина отрезка АС в сантиметрах;

21) длина отрезка АВ в километрах;

22) длина отрезка DC в метрах;

23) периметр треугольника PRQ;

24) длина ломаной QPRMN;

25) частное периметров треугольников RMN и PRQ;

26) длина отрезка ED;

27) длина отрезка BE;

28) количество получившихся точек пересечения прямых;

29) количество получившихся треугольников;

30) количество частей, на которые оказалась разделена плоскость;

31) периметр многоугольника, выраженный в метрах;

32) периметр многоугольника, выраженный в дециметрах;

33) периметр многоугольника, выраженный в сантиметрах;

34) периметр многоугольника, выраженный в миллиметрах;

35) периметр многоугольника, выраженный в километрах;

РАВНО (равна, имеет вид):

а) 70; б) 4; в) 217; г) 8; д) 20; е) 10; ж) 8∙b; з) 800∙b; и) 8000∙b; к) 80∙b; л) 63000; м) 63; н) 63000000; о) 3; п) 6; р) 630000; с) 6300000; т) 7; у) 5; ф) 22; х) 28

Блок 7. Давай поиграем.

7.1. Математический лабиринт.

Лабиринт состоит из десяти комнат с тремя дверьми каждая. В каждой из комнат находится по одному геометрическому объекту (он нарисован на стене комнаты). Сведения об этом объекте находятся в «путеводителе» по лабиринту. Читая его, надо переходить в ту комнату, о которой написано в путеводителе. Проходя по комнатам лабиринта, рисуйте свой маршрут. В двух последних комнатах имеются выходы.

Путеводитель по лабиринту

1. Войти в лабиринт надо через комнату, где находится геометрический объект, у которого нет начала, но есть два конца.
2. Геометрический объект этой комнаты не имеет размеров, он подобен далёкой звезде на ночном небе.
3. Геометрический объект этой комнаты составлен из четырёх отрезков, имеющих три общие точки.
4. Этот геометрический объект состоит из четырёх отрезков с четырьмя общими точками.
5. В этой комнате находятся геометрические объекты, каждый из которых имеет начало, но не имеет конца.
6. Здесь два геометрических объекта, не имеющих ни начала, ни конца, но с одной общей точкой.

1. Представление об этом геометрическом объекте даёт полет артиллерийских снарядов

(траектория движения).

1. В этой комнате находится геометрический объект с тремя вершинами, но это не горные

1. Об этом геометрическом объекте даёт представление полёт бумеранга (охотничье

оружие коренных жителей Австралии). В физике эту линию называют траекторией

движения тела.

1. Представление об этом геометрическом объекте даёт поверхность озера в

безветренную погоду.

Теперь можете выходить из лабиринта.

В лабиринте находятся геометрические объекты: плоскость, незамкнутая линия, прямая, треугольник, точка, замкнутая линия, ломаная, отрезок, луч, четырёхугольник.

7.2. Периметр геометрических фигур.

В рисунках выделите геометрические фигуры: треугольники, четырёхугольники, пяти - и шестиугольники. С помощью линейки (в миллиметрах) определите периметры некоторых из них.

7.3. Эстафета геометрических объектов.

В заданиях эстафеты есть пустые рамки. В них запишите пропущенное слово. Затем перенесите это слово в другую рамку, куда показывает стрелка. При этом можно изменять падеж этого слова. Проходя по этапам эстафеты, выполняйте требуемые построения. Если эстафету пройдёте правильно, то в конце получите слово: периметр .

7.4. Крепость геометрических объектов.

Прочитайте § 2, выпишите из его текста названия геометрических объектов. Затем впишите эти слова в пустые клетки «крепости».

7. На плоскости помещается множество точек и прямых. Принимают, что можно на плоскости строить точки и прямые ; на практике для построения прямой употребляется линейка.

Прямая тянется без конца в обе стороны. На чер. 4 построена прямая AB; воображением можно продолжить ее без конца в обе стороны. Если построить какую-либо точку, напр., точку O, на прямой CD (чер. 4), то прямая разделится на 2 части: одна часть тянется от точки O вправо без конца, а другая – от точки O влево без конца. Каждая из этих частей называется лучом . Здесь имеем 2 луча: луч OD и луч OC.

Мы можем через каждую точку построить бесчисленное множество лучей.

Если возьмем на прямой 2 точки, напр., на прямой KL (чер. 4) точки E и F, то часть прямой линии между этими точками называется отрезком . На чертеже имеем отрезок EF.

8. Сравнить 2 данных отрезка AB и CD (чер. 5).

Перенесем отрезок CD так, чтобы точка C попала в A, и вращаем его около точки A до тех пор, пока отрезок CD не пойдет по отрезку AB. Когда этого достигнем, заметим, куда попадет точка D: если она попадет в B, то наши отрезки равны ; если D попадет куда-либо между точками A и B (напр., в M), то отрезок CD считается меньше отрезка AB, и если точка D попадет за точку B (напр., в N), то отрезок CD больше отрезка AB.

«Сравнить» два отрезка понимаем в смысле установить, равны ли они или один больше другого.

9. Найти сумму двух данных отрезков.

Взяты два отрезка AB и CD (чер. 6); надо сложить эти отрезки.

Для этого переносим отрезок CD так, чтобы точка C попала в B, и затем вращаем его около B до тех пор, пока он не пойдет по продолжению отрезка AB. Отметим, куда попадет точка D; если она попадет в K, то отрезок BK = CD и AK = AB + BK или AK = AB + CD.

Всякий отрезок можно разбить промежуточными точками на сумму нескольких слагаемых; напр.:

AB = AC + CD + DE + EF + FB (чер. 7)

Для нас ясно, что сумма отрезков не изменяется от перестановки слагаемых .

10. Найти разность двух отрезков.

Даны два отрезка AB и CD (чер. 8); надо из большего отрезка AB вычесть меньший CD.

Переносим отрезок CD так, чтобы точка D попала в точку B, и станем вращать его около B до тех пор, пока он не пойдет по направлению BA; отметим, когда этого достигнем, куда попадет точка C. Если C попадет в K, то KB = CD и AK = AB – KB или AK = AB – CD.

Можно данный отрезок умножить на 2, на 3, на 4 и т. д., т. е. повторить его слагаемым 2, 3 и т. д. раз.

Из пп. 8-10 нам важно усвоить, что 1) к отрезкам, как и к числам, приложимы понятия: «равно», «больше» и «меньше»; 2) понятия о «сумме и разности двух отрезков» имеют вполне определенный смысл.

На практике для построения отрезка, равного данному, пользуются циркулем .

11. Упражнения . 1. Назвать слагаемые отрезки и их сумму в каждом из следующих изображений; записать (чер. A).

2. На тех же чертежах указать, какой отрезок можно считать разностью двух других отрезков; записать.

3. Данный отрезок разбить на 2, на 3, на 4 слагаемых; записать.

4. Данный отрезок представить, как разность двух других отрезков.

12. Мы можем построить фигуру, состоящую из двух лучей, исходящих из одной точки , – такая фигура называется углом . На чер. 9 изображен угол, состоящий из лучей OA и OB, исходящих из точки O. Эта точка называется вершиною угла, а каждый луч называется его стороною . Слово «угол» заменяется знаком ∠. Угол называется тремя буквами, из которых одна ставится при вершине, а две другие где-либо на сторонах угла, – буква при вершине ставится в середине названия угла. На чер. 9 имеем ∠AOB или ∠BOA; иногда угол называют одной буквою, поставленной при его вершине, говоря ∠O. Стороны угла (лучи) надо считать идущими без конца.

Особенный случай угла представится тогда, когда его стороны составляют одну прямую линию; такой особенный угол называют выпрямленным или развернутым углом (на чер. 12 изображены выпрямленные углы AOB и A 1 O 1 B 1).

Каждый угол делит плоскость на 2 части, на две области . Одну из этих частей называют внутреннею областью угла и говорят, что она лежит внутри угла, а другую называют внешнею областью угла и говорят, что она лежит вне угла. Какую именно из этих двух частей называть внешнею областью, а какую внутреннею, – дело условия. Следует всякий раз отмечать как-либо внутреннюю, напр., область. Мы будем отмечать внутреннюю область угла кривыми линиями, начерченными на внутренней области между сторонами угла; на чер. 10 отмечены внутренние области углов ABC, DEF и выпрямленного ∠KLM.

Полезно вырезать углы из листа тонкого картона: кусок картона является грубым изображением части плоскости; начертив на нем два луча, исходящих из одной точки, и разрезав этот кусок по сторонам начерченного угла, мы разделим кусок картона на 2 части; возьмем одну из этих частей, про которую хотим считать, что она лежит внутри угла, а другую удалим, – тогда будем иметь модель угла вместе с его внутреннею областью. Для правильного толкования этой модели надо иметь в виду, что кусок картона есть изображение лишь части плоскости, а сама плоскость тянется без конца.

13. Сравнить два данных угла ∠ABC и ∠DEF (чер. 11).

«Сравнить» два угла значит установить, равны ли эти углы, или один больше другого. Для этого мы станем накладывать один угол на другой так, чтобы их внутренние области пошли друг по другу: если при этом окажется, что можно достигнуть того, чтобы вершины и стороны наших углов совместились, то мы говорим, что эти углы равны; если же вершины и по одной стороне у наших углов совпадут, а другие стороны не совпадут, то углы не равны, и меньшим мы читает тот, внутренняя область которого уложится на внутренней области другого.

Упражнение . Вырезать из бумаги модели углов вместе с их внутренними областями и, накладывая эти модели друг на друга, установить возможность случаев, описанных выше; вырезав модель одного угла, вырезать затем модель угла ему равного и модели углов ему не равных (большего или меньшего).

Обратимся к углам ABC и DEF (чер. 11); внутренняя область каждого из них на чертеже отмечена. Переносим ∠DEF так, чтобы его вершина E попала в точку B и его сторона EF пошла бы по стороне BC, – тогда внутренние области углов расположатся одна по другой. Если сторона ED пойдет при этом по стороне BA, то ∠DEF = ∠ABC; если сторона ED пойдет внутри ∠ABC, напр., по лучу BM, то ∠DEF < ∠ABC (здесь внутренняя область угла DEF уляжется на внутренней области ∠ABC, и еще останется незанятой область ABM); если сторона ED пойдет вне ∠ABC, напр., по лучу BN, то ∠DEF > ∠ABC.

Полезно повторить те же рассуждения для углов ABC и DEF (с отмеченными внутренними областями), данных на чер. 11 bis.

Применим изложенный способ сравнения двух углов к двум выпрямленным углам. Пусть имеем 2 выпрямленных угла ∠AOB и ∠A1O1B1 (чер. 12), внутренние области которых на чертеже отмечены. Наложив один из этих углов на другой так, чтобы вершина O 1 одного попала в вершину O другого и чтобы сторона O 1 A 1 одного пошла по стороне OA другого, мы придем к заключению, что и другие стороны этих углов O 1 B 1 и OB совпадают, так как линии A 1 O 1 B 1 и AOB суть прямые, положение которых определяется двумя точками. (Говорят иногда: «OB есть продолжение OA» вместо того, чтобы говорить, что линия AOB есть прямая). Поэтому приходим к заключению:

Все выпрямленные углы равны между собою.

14. Выпрямленный ∠AOB (чер. 12) делит плоскость на 2 области, на внутреннюю и внешнюю. Если перегнуть плоскость по прямой AOB, то обе эти части придут в совпадение. Поэтому можно принять, что внутренняя и внешняя области у выпрямленного угла равны между собою.

Если имеем какой-либо невыпрямленный угол, напр., ∠DEF (чер. 11 или чер. 11 bis), то, продолжив одну его сторону, напр., сторону DE (на чертежах продолжений не начерчено), мы увидим, что о нашем угле можно установить, что он или меньше выпрямленного (чер. 11), или больше его (чер. 11 bis); зависит это от того, какую из двух частей плоскости принять за внутреннюю область угла. Обычно выбирают внутреннюю область угла так, чтобы этот угол оказался меньше выпрямленного, причем условимся в таком случае не отмечать внутренней области угла. Иногда происхождение угла укажет, что за внутреннюю область надо счесть ту часть плоскости, что угол окажется больше выпрямленного. Эти случаи в дальнейшем будут иногда иметь место, и тогда мы уже должны отмечать внутреннюю область угла.

15. Найти сумму двух углов : ∠AOB и ∠PNM (чер. 13), или сложить ∠AOB и ∠PNM.

Здесь на чертеже не отмечены внутренние области углов; согласно замечанию предыдущего п., это значит, что их надо выбрать так, чтобы каждый угол был меньше выпрямленного, и мы ясно видим эти области.

Перенесем ∠PNM так, чтобы его вершина N совпала вершиною O угла AOB, и вращением около точки O достигнем того, чтобы сторона NP пошла по стороне OB; тогда внутренние области наших углов окажутся приложенными друг к другу, – это обстоятельство является существенным для сложения углов. Отметим затем, как пойдет сторона NM: пусть, напр., она пойдет по лучу OC. Тогда получим новый ∠AOС, который принимается за сумму двух данных углов. Мы можем написать:

1) ∠BOC = ∠PNM, 2) ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC
и 3) (на основании 1) ∠AOC = ∠AOB + ∠PNM.

Так же можно складывать несколько углов; можно разбивать данный угол на несколько слагаемых. На чер. 14 имеем:

∠AOE = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE.

Легко построить два или несколько приложенных друг к другу углов, чтобы сумма их оказалась равна выпрямленному углу. Возможно, что сумма нескольких углов окажется больше выпрямленного угла (чер. 15), внутреннюю область этой суммы следует отметить.

Возможен еще особый случай сложения углов, когда внутренние области слагаемых углов покрывают собою, когда их приложат друг друга, всю плоскость. На чер. 16 имеем такие углы: ∠AOB, ∠BOC, ∠COD, ∠DOE, ∠EOF и ∠FOA. В этом случае, построив луч OM, являющийся продолжением луча OA, видим, что сумма наших углов состоит из двух выпрямленных углов: 1) выпрямленный ∠AOM, внутренняя область которого отмечена одною кривою линиею, и 2) выпрямленный ∠AOM, внутренняя область которого отмечена двойною кривою линиею. Здесь мы имеем:

∠AOB + ∠BOC + ∠COD + ∠DOE + ∠EOF + ∠FOA = 2 выпрямленным углам.

Говорят: Сумма всех последовательных углов, окружающих точку, равна двум выпрямленным углам .

Если имеются слагаемые углы еще, кроме построенных на чер. 16, то их придется прикладывать к прежним опять по первому выпрямленному углу, и тогда сумма получается больше двух выпрямленных углов, равная трем выпрямленным углам, больше трех выпрямленных углов и т. д.

16. Найти разность двух углов : ∠AOB и ∠MNP (чер. 17), или вычесть ∠MNP из ∠AOB, полагая, что ∠MNP < ∠AOB.

Перенесем ∠MNP так, чтобы его вершина N попала в вершину O угла AOB; вращением около точки O достигнем затем, чтобы сторона NM пошла по стороне OB, причем внутренние области этих углов расположатся одна на другой. Пусть сторона NP пойдет по лучу OC; тогда получим новый ∠AOC, о котором знаем, что ∠AOC + ∠COB = ∠AOB, откуда, согласно определению вычитания, как действия обратного сложению, получим:

∠AOC = ∠AOB – ∠COB,
но ∠COB = ∠MNP; поэтому
∠AOC = ∠AOB – ∠MNP.

Из пп. 13-16 мы должны усвоить мысль, что к углам, как и к отрезкам, приложимы понятия: больше, меньше, равно , и что понятия о сумме и разности двух углов имеют определенный смысл.

17. Упражнения . 1. Построить два приложенных друг к другу угла, назвать их буквами, указать их сумму и записать сложение этих углов.

2. На том же чертеже указать, что один из углов есть разность двух других; записать его.

3. На следующих чертежах (см. чер. B) ∠AOB выразить разностью двух других углов.

4. Данный угол разбить на 2, на 3, на 4 слагаемых; всякий раз записывать это; сделать то же самое с выпрямленным углом.

5. Данный угол представить в виде разности между выпрямленным и каким-либо другим углом. Какое построение необходимо для этого?

6. Производить сложение и вычитание углов, пользуясь моделями углов, вырезанными из бумаги.

18. В дальнейшем мы часто будем нумеровать углы, чтобы, называя их нумерами, сократить письмо. Нумера углов будем писать внутри каждого угла около вершины.

Построим ∠AOB (чер. 18) и будем называть его ∠1. Дополним этот угол до выпрямленного. Задача имеет два решения: построим луч OC, служащий продолжением луча OA; тогда получим ∠BOC или ∠2, удовлетворяющий требованию, так как видим, что

∠1 + ∠2 = выпрямленному углу.

Здесь мы имеем пример сложения двух углов, когда сумма равна выпрямленному углу, – такие углы называют смежными: ∠1 и ∠2 суть смежные углы. Чтобы 2 угла можно было назвать именем «смежные», надо, чтобы 1) они были приложены друг к другу и 2) чтобы их сумма равнялась выпрямленному углу, или, что то же самое, чтобы эти углы имели общую вершину (у углов 1 и 2 общая вершина O), одну общую сторону (у наших углов общая сторона OB) и чтобы две другие стороны являлись продолжением одна другой (OC есть продолжение OA).

Второе решение нашей задачи получится, если продолжить сторону OB, – пусть OD есть продолжение OB; тогда получим еще ∠AOD или ∠4, смежный с ∠1. Назовем еще полученный угол COD через ∠3.

Исследуем 2 полученных решения нашей задачи, т. е. ∠2 и ∠4. Мы видим особенность расположения ∠2 и ∠4: у них общая вершина O, стороны одного из них являются продолжениями сторон другого, а именно OC есть продолжение OA и обратно, и OB есть продолжение OD и обратно, – такие два угла называются вертикальными.

Затем мы знаем, что и ∠2 и ∠4 дополняют каждый в отдельности ∠1 до выпрямленного; отсюда заключаем, что

Вот более подробное изложение последнего соображения. Согласно построению, мы имеем:

1) ∠1 + ∠2 = выпрямленному углу;
2) ∠1 + ∠4 = выпрямленному углу.

Мы видим, что оба сложения ведут к одинаковой сумме (все выпрямленные углы ведь равны между собою), и, кроме того, одно слагаемое (а именно ∠1) в обоих сложениях одно и то же; отсюда заключаем, что и другие слагаемые должны быть равны между собою, т. е. ∠2 = ∠4.

Если построить две пересекающихся прямых линии, то получим две пары вертикальных углов. На чер. 18 имеем прямые AC и BD, одна пара вертикальных углов есть ∠2 и ∠4, а другая ∠1 и ∠3. Все предыдущее применимо к каждой паре вертикальных углов; напр., для пары ∠1 и ∠3 имеем, что каждый из них дополняет ∠2 до выпрямленного, следовательно, ∠1 = ∠3. Поэтому имеем теорему:
Вертикальные углы равны между собою.

Упражнение . Построить через точку три прямых и указать полученные вертикальные углы; записать их равенство.

Пусть нам даны два отрезка АВ и СD (рис.). Наложим отрезок АВ на отрезок CD так, чтобы точка А совпала с точкой С, и отрезок АВ направим по отрезку CD. Если точка В совпадаете точкой D, то отрезки АВ и CD равны; АВ = CD.

Сравним два отрезка КО и ЕМ (рис.).

Наложим отрезок КО на отрезок ЕМ так, чтобы точки К и Е совпали. Отрезок КО направим по отрезку ЕМ. Если точка О окажется где-нибудь между точками Е и М, то говорят, что отрезок ЕМ больше отрезка КО; отрезок КО меньше отрезка ЕМ.

Записывается это тaк: ЕМ > КО, КО

Построение отрезка, равного данному, с помощью циркуля.

одну ножку циркуля устанавливают на один конец отрезка АВ, а другую - на другой его конец и, не меняя раствора циркуля, переносят его на некоторую прямую так, чтобы конец одной ножки отметил какую-нибудь точку N, тогда конец другой ножки циркуля отметит некоторую точку Р на этой же прямой. Отрезок NP будет равен отрезку АВ.

Сложение и вычитание отрезков.

Это записывают так:

NM = АВ + СD.

Таким же образом находится сумма нескольких отрезков (рис.)

MN = АВ + СD + ЕF.

При сложении отрезков, как и в арифметике при сложении чисел, выполняются законы: переместительный и сочетательный.

АВ + СD = СD + АВ;

(АВ + СD) + ЕF =АВ + (СD + ЕF).

Чтобы найти разность двух отрезков АВ и СD (рис.),

надо на большем отрезке (АВ) от конца его, например точки А, отложить меньший отрезок (СD). Оставшаяся часть (КB) большего отрезка и будет разностью этих отрезков:

АВ - СD = КВ.

Умножение и деление отрезка на целое число.

Отрезок МN есть произведение отрезка АВ на число 5.

б) На рисунке отрезок МN составлен из пяти равных отрезков, т. е. отрезок МN разделён на пять равных частей. Каждый из них составляет 1 / 5 часть отрезка МN.

в) Чтобы разделить отрезок на равные части с помощью циркуля, поступают таким образом. Например, если нужно разделить отрезок на две равные части, то циркуль раздвигают на глаз так, чтобы раствор циркуля составлял примерно половину отрезка. Затем на данном отрезке от его конца последовательно один за другим откладывают этим раствором циркуля два отрезка. Если полученная сумма отрезков будет меньше данного отрезка, тo раствор циркуля увеличивают; если сумма окажется больше данного отрезка, то раствор циркуля уменьшают. Так, постепенно исправляя ошибку, можно отыскать довольно точнo половину отрезка (рис.).

Таким же образом выполняется приближённое деление отрезка на 3, 4, 5 и т. д. равных частей. Только в этом случае надо брать на глаз 1 / 3 ; 1 / 4 ; 1 / 5 ... отрезка и откладывать взятый отрезок 3, 4, 5... раз, смотря по тому, на сколько равных частей надо разделить данный отрезок.

Свойство отрезков, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла

Пусть на стороне АВ угла АВN отложены равные отрезки ВМ = МК = КС (рис.) и через точки деления М, К и С проведены параллельные прямые, пересекающие сторону ВN того же угла.

На этой стороне образовались три отрезка: ВМ’, М’К’ и К’С’. Требуется доказать, что ВМ’ = М’К’ = К’С’.

Для доказательства через точки М’ и К’ проведём прямые, параллельные АВ. Мы получим треугольники ВММ’, М’ЕК’ и К’РС’. Сравним эти треугольники.

Сначала сравним треугольники МВМ’ и М’ЕК’. В этих треугольниках имеем:

∠1 = ∠2, как соответственные углы при параллельных ВА и М’Е и секущей ВN;

∠3 = ∠4, как острые углы 1 с соответственно параллельными сторонами (АВ || М’Е и ММ’ || КК’).

ВМ = МК по построению;

МК = М’Е, как противоположные стороны параллелограмма.

Углы 1-й и 4-й могут оказаться оба тупыми, но и в этом случае они останутся равными, а потому доказательство теоремы не изменится.

Следовательно, ВМ = М’Е. Таким образом, ΔВММ’ = ΔМ’ЕК’ (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Отсюда следует, что ВМ’ = М’К’.

Так же можно доказать, что ВМ’ = К’С’, т. е. ВМ’ = М’К’ = К’С’. При доказательстве теоремы мы откладывание отрезков начали от вершины угла, но теорема справедлива и для того случая, когда откладывание отрезков будет начато не от вершины угла, а от любой точки его стороны.

В этом случае вершину угла на чертеже можно не отмечать (рис.).

Теорема справедлива и для случая, когда прямые КО и МР параллельны.

Пропорциональные отрезки

Из арифметики известно, что равенство двух отношений называется пропорцией. Например: 16 / 4 = 20 / 5 ; 2 / 3 = 4 / 6 To же самое имеем и в геометрии: если даны две пары отрезков, отношения которых равны, то можно составить пропорцию.

Eсли a / b = 4 / 3 и c / d = 4 / 3 (черт. 351), то получим пропорцию a / b = c / d ;

отрезки а, b, c, d называются пропорциональными .

Отношение a / b называется, как и в арифметике, первым отношением, c / d - вторым отношением; а и d называются крайними членами пропорции, b и с - средними членами.

В пропорции можно поменять местами отношения; можно переставить крайние члены, средние члены; можно переставить те и другие одновременно.

Поскольку в пропорции a / b = c / d под буквами подразумевают числа, выражающие длины отрезков, то произведение крайних членов её равно произведению средних членов. Отсюда, зная три члена пропорции, можно найти неизвестный четвёртый её член. Так, в пропорции a / x = c / d x = a d / c

Отметим ещё некоторые свойства пропорций, которыми придётся в дальнейшем пользоваться при доказательстве некоторых теорем и при решении задач.

а) Если три члена одной пропорции соответственно равны трём членам другой пропорции, то равны и четвёртые члены этих пропорций.

Если a / b = c / x и a / b = c / y ,то х = у . В самом деле, x = b c / a , у = b c / a , т. е. и х и у равны одному и тому же числу b c / a .

б) Если в пропорции равны предыдущие члены, то равны и последующие, т. е. если a / x = a / y , то х = у .

Чтобы убедиться в этом, переставим средние члены в этой пропорции.

Получим: a / a = x / y . Но a / a = 1. Следовательно, и x / y = 1.

А это возможно лишь в том случае, когда числитель и знаменатель дроби равны, т. е.

х = у .

в) Если в пропорции равны последующие члены, то равны и предыдущие, т. е. если x / a = y / a , то х = у .

В справедливости этого свойства предлагается вам убедиться самостоятельно. Для этого проведите рассуждение, аналогичное предыдущему.

Построение пропорциональных отрезков

Пусть две прямые ЕF и ОР пересечены тремя параллельными прямыми АВ, СD и МN (рис.).

Требуется доказать, что отрезки АС, СМ, ВD и DN, заключённые между параллельными секущими, пропорциональны, т. е.

AC / CM = BD / DN

Пусть длина отрезка АС равна р , а длина отрезка СМ равна q .

Например, р = 4 см. и q = 5 см.

Разделим АС и СМ на отрезки, равные 1 см, и из точек деления проведём прямые, параллельные прямым АВ, СD и МN, как это показано на рисунке.

Тогда на прямой ОР отложатся равные между собой отрезки, при этом на отрезке BD их будет 4, а на отрезке DN - 5.

Отношение АС к СМ равно 4 / 5 , точно так же и отношение ВD к DN равно 4 / 5 .

Отсюда AC / CM = BD / DN .

Значит, отрезки АС, СМ, ВD и DN пропорциональны. Пропорциональны также и отрезки АС, АМ, ВD и ВN (налегающие друг на друга), т. е. AC / AM = BD / BN ,

так как AC / AM = 4 / 9 и BD / BN = 4 / 9

Теорема будет справедлива и при любых других целых значениях р и q .

Если длины отрезков АС и СМ не выразятся в целых числах при данной единице измерения (например, сантиметре), то надо взять такую более мелкую единицу (например, миллиметр или микрон), при которой длины отрезков АС и СМ практически выразятся в целых числах.

Доказанная теорема справедлива и в том случае, когда одна из параллельных секущих проходит через точку пересечения данных прямых. Она справедлива также и в том случае, когда отрезки откладываются не непосредственно один за другим, а через некоторый промежуток.